一、偏微分方程及泛函Hamiltonian结构的机械化研究与应用（论文文献综述）
程意苏[1]（2021）在《无穷维Hamilton正则形式化的结构问题及应用研究》文中提出Hamilton系统是一类特殊的偏微分方程（组）,它具有很好的对称性和普遍性,在许多学科研究中扮演着重要的角色,是一个强有力的工具,因此在Hamilton系统下进行研究具有很大的实际意义,其中Hamilton形式化问题是非常重要的问题.目前化为Hamilton正则形式的方法有许多,继续发展这些方法就是我们所追求的,尤其是要得到一种更快更直观的方法,才能使这些方法的使用范围更广,本文主要研究无穷维Hamilton正则形式化的结构问题.第一章,以无穷维Hamilton正则系统为主介绍了本文的研究对象,并且引进了本文所研究的Hamilton正则形式的相关定义;其次,简单罗列了一些无穷维Hamilton正则形式化的发展历史和涉及的研究方法;最后阐述了本文的研究思路和获得的主要结果.第二章,主要探讨了高阶偏微分方程的Hamilton算子的结构特征.首先,在前人的基础上,将Hamilton算子改写为有限求和的形式;然后,在特征多项式为零的条件下采用限制系数和参数的思想对方程组进行自下而上的约化求解;最后,不仅得到了参数所满足的自然限制关系,为微分方程有解提供了前提保证,而且在恰当的技术设定下获得了两类特殊Hamilton算子的解,并通过几个算例验证了结论的可行性与便捷性.第三章,主要研究了二阶偏微分方程的Hamilton算子的结构特征.首先对系数矩阵统一确定的方程组自上而下的约化求解,不仅得到了二阶微分方程的无穷维Hamilton正则形式中参数之间所满足的自然限制关系,而且在约定条件下获得了五类特殊Hamilton算子的解;然后根据所求得算子的解寻找相应的算例,并进行了总结.最后一章,对全文的工作进行了大致的总结,并且指出了本文的不足之处,以及未来可能继续开展的工作.
乔艳芬[2]（2021）在《无界Hamilton算子广义本征向量组的基性质研究》文中认为20世纪90年代初,钟万勰院士为求解固体力学中出现的一些瓶颈问题,提出了辛体系方法.该方法克服了传统半逆方法求解高阶控制偏微分方程（组）的困难以及对解的形式的主观推测,扩大了解析求解的范围,在应用力学等诸多领域得到了迅速的发展.辛体系方法的数学基础依赖于无穷维Hamilton算子广义本征向量组的块状Schauder基性质,基于这一性质,便可理性求解一些尚未获解的偏微分方程（组）.本文从理论及应用两方面探讨了一些无界Hamilton算子广义本征向量组的块状Schauder基性质.理论方面的研究思路是给出一些抽象无界算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质的等价刻画,然后将理论结果应用到具体的力学模型中;而应用方面的研究思路是将一些具体力学方程（组）转化成与之等价的无穷维Hamilton系统,再证明相应Hamilton算子的广义本征向量组能构成某个Hilbert空间中的块状Schauder基,进而给出原问题的解析解.理论研究方面,首先考虑了一类2×2 Hamilton算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,建立了这类算子矩阵的广义本征向量组的块状Schauder基性质与由它导出的二次算子族的广义本征向量组的Schauder基性质的等价关系,进而展示了对边简支矩形薄板弯曲问题导出的一类4×4 Hamilton算子的广义本征向量组是相应Hilbert空间中的块状Schauder基;其次讨论了一类3×3算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,得到了这类算子矩阵的广义本征向量组的块状Schauder基性质与由它导出的两类算子族的广义本征向量组的Schauder基性质的等价描述,作为应用,考察了对边简支矩形中厚板问题导出的两类6×6斜对角Hamilton算子斜对角块乘积算子的广义本征向量组的块状Schauder基性质;然后探究了一类4×4 Hamilton算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,给出了这类算子矩阵的广义本征向量组是某个Hilbert空间中的块状Schauder基的充要条件,并将所得结论运用于对边简支矩形薄板的自由振动和弯曲问题.应用研究方面,我们利用辛体系方法建立了一类源于弹性力学的偏微分方程的统一求解框架,重点讨论了其在板结构中的应用.通过引入适当的状态函数,这类偏微分方程被转化成了与之等价的无穷维可分Hamilton系统,进而证明了相应斜对角Hamilton算子的广义本征向量组能构成某个Hilbert空间中的块状Schauder基,这为辛体系方法的顺利实施提供了理论保证.利用基性质定理和辛叠加技巧,得到了以这类偏微分方程为控制方程的四边固支矩形薄板弯曲、屈曲以及自由振动问题的解析解,并通过数值算例验证了解析解的正确性.值得一提的是,我们还利用辛体系方法分析了二维八次对称准晶体的平面弹性问题.在辛空间Hamilton体系的框架下,我们得到了点群8mm八次对称准晶体平面弹性问题的解析解,通过数值计算结果的对比分析,证实了解析解的正确性和收敛性.另外,我们导出了富有挑战性的Laue 15类八次对称准晶体平面弹性问题的无穷维Hamilton系统以及最终控制方程,这对用辛体系方法或半逆方法进一步分析该问题有很大的帮助.本文展示的方法对某些应用力学模型的研究以及某些偏微分方程（组）的求解具有一定的借鉴意义,相关的结论为Hamilton体系框架下的分离变量法提供了理论保证,一些新的解析解可作为验证其它数值方法的基准.
陈晓红[3]（2016）在《Lie代数上若干可积孤子族的构造性研究》文中研究指明构造可积孤子方程是孤子理论研究的核心问题之一.本文以AC=BD思想为指导,以Lie代数上符号计算为辅助工具,围绕离散可积晶格族,可积孤子族的非线性可积耦合和双可积耦合系统,超可积孤子族及其非线性超可积耦合系统三个方面做了一些研究工作.共分为六章：1.第一章,概述孤子理论、数学机械化思想、孤子方程精确求解、可积系统、可积耦合的发展状况和相关的研究成果,并给出本文的主要工作.2.第二章,介绍了AC=BD模式的基本思想和相关结论,并给出Ac=BD模式在微分方程求解和孤子理论中的一些应用.3.第三章,基于两个新的离散等谱问题,导出了两个新的离散可积晶格族,并利用离散的迹恒等式分别得到了这两个离散可积晶格族的Hamilton结构.4.第四章,通过两种块型矩阵Lie代数分别建立了一个可积族的非线性可积耦合和双可积耦合,另外还通过变分恒等式分别求出了可积耦合和双可积耦合的Hamilton结构.5.第五章,利用两个Lie超代数分别建立了一个超可积孤子族和其非线性超可积耦合,从中得到包括着名mKdV方程在内的一些演化方程.同时通过超迹恒等式给出了它们的超Hamilton结构.6.第六章,总结整篇论文的工作,并对未来的研究内容做大致的规划.
李红敏[4]（2016）在《孤子方程的可积离散和双哈密顿结构》文中研究说明本文主要研究非线性数学物理中一些重要的孤子方程的性质及它们之间的相互关系.大致分为以下四方面内容：运用差分算子代数化将连续广义非线性薛定谔（GNLS）方程可积离散化,并研究所得离散方程的一些可积性质和线性约化；构造并验证若干多分量孤子方程的双哈密顿结构,进而推导方程的其他可积性质：发现一些重要的Camassa-Holm（CH）型方程的reciprocal变换,以此建立不同方程族之间的关系；利用符号计算平台Mathematica开发了验证孤子方程双哈密顿算子的自动推演程序包.具体的章节安排如下：第一章,介绍了与本文相关的可积离散、双哈密顿理论、reciprocal变换、符号计算的研究背景与发展现状,并且概述了本文的主要工作.第二章,利用差分算子代数化的方法将连续GNLS方程Lax对离散化、得到了半离散GNLS方程,并考虑了其可积性质如递推算子、对称和守恒律.通过循环矩阵理论研究了该广义半离散方程所有的线性约化,特别的经过其中一个约化得到了一个经典的半离散NLS方程.第三章,通过零曲率方程构造了多分量Novikov方程、多分量Yajima-Oikawa（YO）族以及一个多分量CH型方程的双哈密顿算子,并用multi-vector方法验证.由这些多分量方程的双哈密顿结构可推导以下结果：多分量Novikov方程的递推算子和无穷多个非局域对称；经典的YO方程及其无穷多守恒量；多分量CH型方程所在族的对偶族：即多分量AKNS族和多分量KN族.第四章,以CH方程、Olver-Rosenau-Qiao（ORQ）方程与KdV族负一流之间的两个reciprocal变换为桥梁,建立了CH方程和ORQ方程之间的联系.构造了一个混合CH型方程（混合CH方程与ORQ方程）与KdV族负一流之间的reciprocal变换,特别地此变换的约化可得将CH方程和ORQ方程联系到KdV族负一流的上述两个reciprocal变换.第五章,基于符号计算软件Mathematica和验证双哈密顿算子的multi-vector万法,编写了程序包MvBiHamiltonian该程序包能自动验证算子的反对称性、Jacobi恒等式和两个哈密顿算子之间的相容性等.值得注意的是,该程序包成功地验证了王总结的所有微分算子形式的双哈密顿算子.第六章,总结归纳了本文的主要工作,并阐明了接下来的研究方向.
李玮[5]（2013）在《若干非线性偏微分方程精确解及活动标架应用》文中认为非线性偏微分方程是数学物理等诸多研究领域备受关注的研究对象.本文根据数学机械化思想,AC=BD模式,活动标架理论,围绕非线性偏微分方程这一课题展开了三个方面的研究：非线性偏微分方程组的精确求解,微分方程（组）的微分不变量完备系统的求解,等变活动标架法求解部分非线性偏微分方程.本文由以下六章组成：第一章对本文涉及的学科和理论：孤立子理论,数学机械化,活动标架理论,微分不变量理论,数学物理方程的精确求解及这些领域的发展情况和研究成果进行概述.最后,简要介绍本论文的选题及主要工作;第二章主要介绍与本论文相关的预备知识,即李群及其在微分方程中应用的相关基础知识;第三章简要概述AC=BD理论,介绍该理论在微分方程求解方面的应用；第四章在第三章理论的指导下,介绍求解非线性偏微分方程组精确解的一种新方法,即扩展的子方程展开法.本章以广义Schrodinger-Boussinesq方程和耦合非线性Klein-Gordon-Schrodinger方程为例,证明了该方法的有效性；第五章介绍等变活动标架理论,并以其为基础研究了该理论在微分方程（组）的微分不变量完备系统求解中的应用.求解了数学物理方程：Hirota-Ramani方程和Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的微分不变量完备系统；第六章结合第五章理论结果,探索等变活动标架理论在非线性偏微分方程求解方面的应用,给出求解部分非线性偏微分方程的一种新方法,即活动标架等变法,进一步丰富了AC=BD模式.
宋朝晖[6]（2010）在《非线性发展方程的扩展守恒律和孤子解》文中研究表明本文以数学机械化思想为指导,以计算机代数系统软件为工具,研究非线性发展方程的守恒律构造问题以及一类重要的孤子方程的求解问题,构造了几个非线性发展方程的扩展守恒律和一个（2+1）维变系数非线性Schrodinger方程的精确解,并在符号计算系统Maple上予以机械化实现。本文主要工作如下：第一章介绍了数学机械化的历史和现状,同时介绍了经典的可积系统理论和非线性发展方程守恒律的研究概况。第二章介绍了AC=BD理论,通过实例说明了其在求解微分方程中的应用。第三章介绍了构造守恒律所需要的一些基本理论,并给出利用Noether定理构造原方程（组）对称和扩展守恒律的方法。首先,对发展方程（组）匹配共轭方程（组）,从而得到扩展方程组和Lagrange函数；其次,给出了以得到的Lagrange系统为基础,利用Noether定理确定原方程（组）扩展守恒律和扩展对称的方法。利用这一方法我们构造了包括Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程,Benjamin-Bona-Mahony方程和KdV-Burgers-Kuramoto方程在内的三个非线性发展方程（组）的扩展守恒律,同时也说明了方法的有效性。第四章结合AC=BD理论,通过一系列的变换,将（2+1）维变系数非线性Schrodinger方程转化为Klein-Gordon方程。再利用双线性变换求得Klein-Gordon方程的解,进而求得非线性Schrodinger方程的几个孤子解。
冯阳[7]（2010）在《非线性微分方程与超离散方程的若干求解和可积性问题研究》文中研究指明本文以数学机械化思想和AC=BD理论为指导,以构造性变换及符号计算软件为辅助工具,从代数曲线和Riemann theta函数的角度来研究非线性偏微分方程,离散方程的精确解,超椭圆函数解,拟周期解；超离散方程的Lax可积性和热带Riemann theta函数解等相关问题.第一章介绍数学机械化、孤立子理论、可积性与代数几何解、超离散方程的求解与可积,几种求解数学物理方程的构造性方法的历史发展和研究现状,并介绍本文的选题及主要工作.第二章首先介绍了张鸿庆教授提出的数学机械化中的AC=BD模式和应用,其次在C-D对的理论框架下,利用微分伪带余除法,构造性给出了求方程间的变换的方法.并通过研究一种类型的算子D,给出Dv=0更多形式的解,从而推广了一类辅助方程展开法,给出了一类非线性发展方程更多形式的精确解.第三章基于超椭圆函数和代数曲线的相关知识,通过亏格为2和3的超椭圆函数所满足的等式关系,利用构造性方法求解非线性方程的超椭圆函数解,得到了几类非线性发展方程的2亏格和3亏格的超椭圆函数解.第四章首先基于具有有理特征的Riemann theta函数,推广了双线性和Riemann theta函数相结合的方法,给出了一类具有两个或两个以上因变量非线性方程（组）的拟周期解；并将这一方法应用到一类微分差分方程中.其次,利用四类特殊的具有有理特征Riemann theta函数所满足的恒等式关系,运用直接构造性方法,给出了两个离散方程的拟周期解.第五章首先运用超离散化方法给出晶格修正的KdV方程的超离散方程,并通过协调条件证明了超离散方程的Lax可积.其次运用热带化方法,给出约化的非自治超离散Kadomtsev-Petviashvili方程（rndKP）的热带谱曲线,并利用热带形式下的Fay三度割线恒等式给出其热带Riemann theta函数形式的解.
陆斌[8]（2010）在《非线性微分方程求解中的构造性方法与符号计算》文中进行了进一步梳理本文以数学机械化思想和AC=BD模式为指导,以计算机代数系统软件为工具,研究了孤立子理论中若干重要的孤子方程的精确求解问题,微分差分方程的对称和孤子方程的的代数几何求解.第一章介绍数学机械化与计算机代数、孤立子理论,非线性偏微分方程（组）的精确求解以及孤子可积系统与代数几何的历史发展和研究现状,同时介绍了国内外学者在这些领域所取得的研究成果.并介绍了本文的选题及主要工作.第二章介绍AC=BD理论的基本内容和思想以及在这一理论框架下的微分方程精确解的构造性问题.第三章基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的指导思想和AC=BD理论,提出了新的射影方程法,获得了非线性微分方程组的丰富的Jacobi椭圆函数解,并推广了首次积分法,用于非线性微分方程组的精确求解.第四章提出了构造若干孤子方程的亏格为2的超椭圆函数解的直接法,并将这一方法与孤子方程的对称变换群相结合获得了方程新的形式的解,另外将直接法应用于（2+1）维微分差分方程,获得了方程新的对称.第五章将Hirota双线性方法和Riemann theta函数相结合,获得了2+1维格、3+1维JM方程以及广义变系数fKdV方程的多亏格的Riemann theta函数解,并从一个2阶矩阵谱问题出发,由零曲率表示导出了孤子方程族,研究了其中广义的耦合mKdV方程和Schodinger方程的拟周期解.
李文婷[9]（2010）在《AC=BD模式下非线性发展方程求解的若干问题研究》文中认为本文以数学机械化思想和AC=BD模式为指导,研究非线性发展方程的精确求解方法,并应用间断有限元方法对非线性发展方程的数值求解进行研究.第一章介绍本文所涉及的学科：孤立子理论、数学机械化、间断有限元方法的历史发展及现状,同时介绍了国内外学者在这些领域所取得的成果.最后,介绍了本文的主要工作.第二章介绍本文的理论基础：AC=BD理论和C-D对理论以,并且阐述在AC=BD这一理论框架下的微分方程精确解的构造问题及BD=AC在数值求解中的应用.第三章是在第二章理论的指导下,基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的思想,改进了两种求解非线性发展方程精确解的有效算法-广义双Riccati方程有理展开法和广义子方程有理展开法,改进后的算法能够求解出非线性发展方程的更多类型的精确解.第四章对三类BBM-Burgers型方程设计了局部间断有限元方法.对于广义BBM-Burgers型方程给出的求解格式,我们证明了其非线性情形的L2稳定性及非线性情形的误差估计.对带四阶色散项的BBM-Burgers型方程和Rosenau-Burgers方程我们给出了求解格式,并证明了其非线性L2稳定性.数值试验证实了LDG格式与算法的有效性和可行性.第五章构造了含有高阶导数项的非线性Schrodinger方程的局部间断有限元算法.推广了Xu和Shu关于LDG方法求解非线性薛定谔方程工作.这些方程包括带三阶导数项的非线性Schrodinger方程和带四阶导数项及高阶非线性项Schr（o|¨）dinger方程.我们证明了这些方程求解格式的非线性情形的L2稳定性,并对这些方程进行了数值模拟,说明了局部间断有限元方法求解高阶导数NLS方程的精度和能力.
张晓岭[10]（2009）在《微分方程的精确解、群与群不变解的分类问题》文中研究指明本文以数学机械化思想和AC=BD模式为指导,研究具有任意阶非线性项的非线性偏微分方程的精确求解,微分差分方程的群分类和超对称方程的群不变解的分类问题.第一章介绍数学机械化、孤立子理论、数学物理方程的精确求解、对称分析、群分类、超对称和超对称方程的历史发展和研究现状,并介绍本文的选题及主要工作.第二章介绍微分方程变换的机械化构造的AC=BD理论和C-D对理论的基本内容和思想.第三章基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的指导思想和AC=BD理论,改进广义Riccati方程有理展开法,并推广Sub-ODE方法,进而给出带有任意阶非线性项的非线性发展方程更多的精确解.第四章利用Zhdanov和Lahno给出的求解偏微分方程群分类的方法研究非线性微分差分方程（?）n=Fn(t,un-1,un,un+1)在李代数下不变的群分类.第五章给出超对称二玻色子方程的李超代数的伴随表示关系及其在这种关系下一维子代数的共轭类,进一步计算群不变解的初步分类,并得到超对称二玻色子方程的指数函数解、三角函数解和有理解.
二、偏微分方程及泛函Hamiltonian结构的机械化研究与应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、偏微分方程及泛函Hamiltonian结构的机械化研究与应用（论文提纲范文）
（1）无穷维Hamilton正则形式化的结构问题及应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 本文的选题背景 |
| 1.1.1 研究问题 |
| 1.1.2 无穷维Hamilton正则形式化的研究进展及方法介绍 |
| 1.2 本文的研究路线分析和主要结果 |
| 1.2.1 研究路线 |
| 1.2.2 主要结果 |
| 第二章 高阶偏微分方程的Hamilton算子的结构特征 |
| 2.1 基本思想 |
| 2.1.1 准备工作 |
| 2.1.2 解决思路及方法 |
| 2.2 两类特殊分块斜对角形式的待定参数限制条件 |
| 2.2.1 情形一 |
| 2.2.2 情形二 |
| 2.2.3 情形三 |
| 2.2.4 算例 |
| 2.3 两类对角形式的待定参数限制条件 |
| 2.3.1 主对角形式的参数情形 |
| 2.3.2 副对角形式的参数情形 |
| 2.4 补充工作 |
| 第三章 二阶偏微分方程的Hamilton算子的结构特征 |
| 3.1 关于二阶偏微分方程Hamilton算子解的讨论 |
| 3.1.1 解决思路 |
| 3.1.2 主要工作 |
| 3.2 算例 |
| 第四章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A 其它约化结果 |
（2）无界Hamilton算子广义本征向量组的基性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 Hamilton系统的简介 |
| 1.2 Hamilton系统的辛方法 |
| 1.2.1 Hamilton系统的辛几何算法 |
| 1.2.2 弹性力学求解辛体系 |
| 1.3 弹性力学求解辛体系中涉及的一些课题 |
| 1.3.1 无穷维Hamilton系统反问题 |
| 1.3.2 无穷维Hamilton算子本征向量组的基性质 |
| 1.3.3 无穷维Hamilton算子的谱理论 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 一类2×2Hamilton算子广义本征向量组的基性质 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 在矩形薄板问题中的应用 |
| 第三章 一类3×3算子矩阵广义本征向量组的基性质 |
| 3.1 基本引理 |
| 3.2 本征值的代数指标 |
| 3.3 本征向量组的正交性 |
| 3.4 主要结果 |
| 3.5 在矩形中厚板问题中的应用 |
| 第四章 一类4×4Hamilton算子广义本征向量组的基性质 |
| 4.1 本征值和本征向量 |
| 4.2 本征值的代数指标 |
| 4.3 本征向量组的块状基性质 |
| 4.4 在矩形薄板问题中的应用 |
| 第五章 一类源于薄板问题的偏微分方程的辛分析 |
| 5.1 基本问题和Hamilton系统 |
| 5.1.1 本征值和本征向量 |
| 5.1.2 辛正交性和完备性 |
| 5.1.3 通解 |
| 5.2 在矩形薄板问题中的应用 |
| 5.2.1 本征值是单根的情况 |
| 5.2.2 本征值有重根的情况 |
| 5.3 数值结果和比较 |
| 第六章 二维八次对称准晶体平面弹性问题的辛分析 |
| 6.1 点群8mm八次对称准晶体的平面弹性问题 |
| 6.1.1 点群8mm八次对称准晶体的Hamilton系统 |
| 6.1.2 本征值和本征向量 |
| 6.1.3 辛正交性和完备性 |
| 6.1.4 通解 |
| 6.2 数值算例 |
| 6.3 Laue 15 类八次对称准晶体的平面弹性问题 |
| 6.3.1 Laue 15类八次对称准晶体的Hamilton系统 |
| 6.3.2 Laue 15 类八次对称准晶体的最终控制方程 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 附录 第六章的一些结果 |
| 致谢 |
| 硕博连读期间的研究成果 |
（3）Lie代数上若干可积孤子族的构造性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤子的研究历史 |
| 1.2 数学机械化 |
| 1.3 孤子方程精确求解 |
| 1.3.1 反散射变换 |
| 1.3.2 Hirota直接方法 |
| 1.3.3 其它构造方法 |
| 1.4 可积系统的发展 |
| 1.5 可积耦合系统 |
| 1.6 本文的主要工作 |
| 2 AC=BD模式的介绍 |
| 2.1 AC=BD基本思想 |
| 2.2 AC=BD模式的应用 |
| 2.3 本章小结 |
| 3 两个新的离散可积晶格族 |
| 3.1 广义Hamilton方程 |
| 3.1.1 广义Hamilton方程的概念 |
| 3.1.2 屠格式方法 |
| 3.1.3 一个loop代数的子代数 |
| 3.2 推广的相对论Toda晶格方程族 |
| 3.3 推广的修正Toda晶格方程族 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 可积孤子族的非线性可积和双可积耦合 |
| 4.1 半直和Lie代数与变分恒等式 |
| 4.2 非线性可积耦合和双可积耦合 |
| 4.2.1 可积孤子族 |
| 4.2.2 非线性可积耦合 |
| 4.2.3 非线性双可积耦合 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 超可积孤子族及其非线性超可积耦合 |
| 5.1 两个Lie超代数 |
| 5.2 方法介绍 |
| 5.3 超可积和非线性超可积耦合 |
| 5.3.1 超可积孤子族 |
| 5.3.2 非线性超可积耦合 |
| 5.4 本章小结 |
| 6 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（4）孤子方程的可积离散和双哈密顿结构（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 可积离散 |
| 1.2 双哈密顿结构 |
| 1.3 Reciprocal变换 |
| 1.4 符号计算 |
| 1.5 选题和主要工作 |
| 第二章 孤子方程的可积离散 |
| 2.1 伪差分算子环介绍 |
| 2.2 半离散GNLS方程及其可积性质 |
| 2.3 半离散GNLS方程的约化 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 多分量系统的双哈密顿结构 |
| 3.1 双哈密顿结构基础知识 |
| 3.2 多分量Novikov方程的双哈密顿结构 |
| 3.3 多分量Yajima-Oikawa族的双哈密顿结构 |
| 3.4 一个多分量Camassa-Holm型方程的双哈密顿结构 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 Camassa-Holm型方程的reciprocal变换 |
| 4.1 Reciprocal变换简介 |
| 4.2 两个Camassa-Holm型方程的reciprocal变换 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 验证双哈密顿算子的自动推演程序包 |
| 5.1 Multi-vector方法及其机械化实现和Mathematica软件内置符号介绍 |
| 5.2 程序包MvBiHamiltonian简介 |
| 5.3 程序包MvBiHamiltonian的应用实例 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 附录A 多分量系统双哈密顿算子验证 |
| A.1 多分量Novikov方程双哈密顿算子验证 |
| A.2 多分量Yajima-Oikawa族双哈密顿算子验证 |
| A.3 一个多分量Camassa-Holm型方程双哈密顿算子验证 |
| 附录B 程序包MvBiHamiltonian代码及其他例子 |
| B.1 程序包MvBiHamiltonian代码 |
| B.2 MvBiHamiltonian的其他应用实例 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表论文,参与科研和获得荣誉情况 |
（5）若干非线性偏微分方程精确解及活动标架应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤立子理论 |
| 1.2 数学机械化 |
| 1.3 活动标架理论 |
| 1.4 微分不变量理论 |
| 1.5 数学物理方程的精确求解 |
| 1.6 选题及主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 李群 |
| 2.2 微分方程的对称群 |
| 3 AC=BD理论的介绍 |
| 3.1 AC=BD理论概述 |
| 3.2 AC=BD模式在微分方程求解中的应用 |
| 4 非线性偏微分方程组的精确解算法 |
| 4.1 扩展的子方程展开法 |
| 4.2 方法步骤及应用 |
| 5 求解微分不变量完备系统 |
| 5.1 等变活动标架理论 |
| 5.1.1 有限维李群 |
| 5.1.2 李伪群 |
| 5.2 微分不变量的求解方法 |
| 5.2.1 方法概述 |
| 5.2.2 应用举例 |
| 6 活动标架等变法求解偏微分方程 |
| 6.1 方法概述 |
| 6.2 应用举例 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（6）非线性发展方程的扩展守恒律和孤子解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机代数 |
| 1.2 经典可积系统 |
| 1.3 守恒律 |
| 1.4 本文的主要研究成果 |
| 2 AC=BD理论 |
| 2.1 AC=BD理论 |
| 2.2 AC=BD理论在微分方程中的应用 |
| 3 非线性发展方程的扩展守恒律 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 变分问题及变分逆问题 |
| 3.1.2 微分方程的Lie对称 |
| 3.1.3 守恒律 |
| 3.1.4 Noether定理 |
| 3.2 构造方法 |
| 3.3 几个非线性发展方程扩展守恒律的构造 |
| 3.3.1 Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程的扩展守恒律 |
| 3.3.2 Benjamin-Bona-Mahony方程的扩展守恒律 |
| 3.3.3 KdV-Burgers-Kuramoto方程的扩展守恒律 |
| 4 (2+1)维变系数非线性Schrodinger方程的求解 |
| 4.1 适当变换 |
| 4.2 非线性Schrodinger方程的孤子解 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
（7）非线性微分方程与超离散方程的若干求解和可积性问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机代数 |
| 1.2 孤立子研究的发展概况 |
| 1.3 非线性发展方程的可积性研究与代数几何解 |
| 1.4 非线性发展方程(组)的构造性求解 |
| 1.5 孤子元胞自动机和超离散方程研究的历史发展和现状 |
| 1.6 选题及主要工作 |
| 2 AC=BD模式与非线性偏微分方程(组)的精确解 |
| 2.1 AC=BD模式概述及应用 |
| 2.2 构造C-D对的若干方法 |
| 2.3 C-D对理论与非线性发展方程求解 |
| 3 超椭圆函数与非线性偏微分方程求解 |
| 3.1 超椭圆函数概述 |
| 3.2 基于超椭圆函数的直接方法及其应用Ⅰ:几类(2+1)维非线性方程的 2亏格超椭圆函数解 |
| 3.3 基于超椭圆函数的直接方法及其应用Ⅱ:(2+1)维和(3+1)维KP方程的三亏格超椭圆函数解 |
| 4 有理特征Riemann Theta函数和非线性方程求解 |
| 4.1 (2+1)维Sinh-Gordon方程有理特征Riemann Theta函数解 |
| 4.2 微分差分KdV方程的拟周期解 |
| 4.3 直接法求离散方程的拟周期解 |
| 5 超离散方程的Lax可积与热带Riemann theta函数解 |
| 5.1 孤子元胞自动机与超离散方程 |
| 5.2 超离散mKdV方程的Lax可积性 |
| 5.3 超离散KP方程的热带Riemann theta函数解 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表、完成论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）非线性微分方程求解中的构造性方法与符号计算（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机代数 |
| 1.2 孤立子产生的历史背景和发展状况 |
| 1.3 非线性偏微分方程(组)精确求解的发展状况 |
| 1.4 孤子可积系统与代数几何 |
| 1.5 选题及主要工作 |
| 2 AC=BD理论和微分方程(组)的精确解 |
| 2.1 AC=BD理论及基本应用 |
| 2.2 Cramer法则在偏微分方程组求解中的应用 |
| 2.3 构造C-D对的若干方法 |
| 3 非线性偏微分方程(组)的精确解算法 |
| 3.1 射影方程展开法及其应用 |
| 3.2 首次积分法与非线性微分方程组的行波解 |
| 4 非线性微分方程的对称和精确解 |
| 4.1 对称群法与微分方程的超椭圆(?)函数解 |
| 4.2 直接法和(2+1)维微分-差分方程的对称 |
| 5 非线性微分方程的周期和拟周期解 |
| 5.1 Hirota双线性算子和Riemann-theta函数 |
| 5.2 线性和孤子方程的Riemann theta函数解 |
| 5.3 变量分离与孤子方程的拟周期解 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表、完成论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（9）AC=BD模式下非线性发展方程求解的若干问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的历史和发展概况 |
| 1.2 数学机械化与符号计算 |
| 1.3 非线性发展方程(组)精确求解的发展概况 |
| 1.4 间断有限元方法 |
| 1.5 选题及主要工作 |
| 2 非线性方程(组)的精确解与AC=BD理论 |
| 2.1 AC=BD理论概述及应用 |
| 2.2 构造C-D对的若干方法 |
| 2.3 BD=AC在数值求解中的应用 |
| 3 非线性发展方程(组)的精确解算法 |
| 3.1 广义Riccati方程有理展开法的改进及其应用 |
| 3.2 广义子方程有理展开法的改进及其应用 |
| 4 BBM-Burgers型方程的局部间断有限元方法 |
| 4.1 广义BBM-Burgers型方程的间断有限元方法 |
| 4.2 高阶BBM-Burgers方程的局部间断有限元方法 |
| 4.3 Rosenau-Burgers型方程的局部间断有限元方法 |
| 4.4 数值算例 |
| 5 高阶非线性薛定谔方程的局部间断有限元方法 |
| 5.1 三阶导数NLS方程的局部间断有限元方法 |
| 5.2 四阶导数NLS方程的局部间断有限元方法 |
| 5.3 数值算例 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 读博期间发表、完成论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（10）微分方程的精确解、群与群不变解的分类问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 绪论 |
| 1.1 数学机械化 |
| 1.2 孤立子理论 |
| 1.3 数学物理方程的精确求解 |
| 1.4 微分方程的对称理论和群分类 |
| 1.5 超对称和超对称方程 |
| 1.6 选题及主要工作 |
| 2 非线性方程(组)的精确解与AC=BD理论 |
| 2.1 AC=BD理论概述及应用 |
| 2.2 构造C-D对的若干方法 |
| 3 具有任意阶非线性项的非线性偏微分方程(组)的精确解算法 |
| 3.1 广义Riccati方程有理展开法的改进及其应用 |
| 3.2 Sub-ODE方法的改进及其应用 |
| 4 非线性微分差分方程的群分类 |
| 4.1 背景简介 |
| 4.2 群分类方法 |
| 4.3 分类算法涉及的李代数结构 |
| 4.4 分类结果 |
| 5 超对称方程的群不变解分类 |
| 5.1 背景简介 |
| 5.2 对称和子代数分类 |
| 5.3 超对称方程的群不变解 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表、完成论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
四、偏微分方程及泛函Hamiltonian结构的机械化研究与应用（论文参考文献）
- [1]无穷维Hamilton正则形式化的结构问题及应用研究[D]. 程意苏. 内蒙古工业大学, 2021(01)
- [2]无界Hamilton算子广义本征向量组的基性质研究[D]. 乔艳芬. 内蒙古大学, 2021(10)
- [3]Lie代数上若干可积孤子族的构造性研究[D]. 陈晓红. 大连理工大学, 2016(03)
- [4]孤子方程的可积离散和双哈密顿结构[D]. 李红敏. 华东师范大学, 2016(08)
- [5]若干非线性偏微分方程精确解及活动标架应用[D]. 李玮. 大连理工大学, 2013(08)
- [6]非线性发展方程的扩展守恒律和孤子解[D]. 宋朝晖. 大连理工大学, 2010(10)
- [7]非线性微分方程与超离散方程的若干求解和可积性问题研究[D]. 冯阳. 大连理工大学, 2010(05)
- [8]非线性微分方程求解中的构造性方法与符号计算[D]. 陆斌. 大连理工大学, 2010(05)
- [9]AC=BD模式下非线性发展方程求解的若干问题研究[D]. 李文婷. 大连理工大学, 2010(09)
- [10]微分方程的精确解、群与群不变解的分类问题[D]. 张晓岭. 大连理工大学, 2009(09)