一类带奇异项的临界椭圆方程正解的存在性

一、一类带有奇异项的临界椭圆方程正解的存在性（论文文献综述）

单雪梦^[1]（2021）在《几类奇异系统周期解问题的研究》文中进行了进一步梳理奇异微分系统是微分方程与动力系统的一个重要领域,其在应用数学、天文学、物理学以及生物学科中有着广泛的应用。因此,探讨奇异微分系统周期解问题具有很高的学术价值。本文应用重合度延拓定理、上下解方法、三阶近似方法、平均方法研究了几类奇异微分系统周期解的存在性和稳定性问题。全文的组织结构如下:第一章,绪论,简述奇异微分系统的背景、研究现状和意义。同时给出了重合度定理、上下解方法、三阶近似方法、平均方法一些基本引理。第二章,研究了一类Rayleigh型奇异微分系统周期正解的存在性问题。应用Mawhin重合度理论、上下解方法分别讨论了奇异项g在较弱的条件下排斥型奇点和吸引型奇点周期解的存在性和多重性。其结果推广和改进了相关文献的研究成果.最后,通过数值模拟验证了理论分析。第三章,考虑了一类具有相对论作用的奇异微分系统周期正解存在性问题。运用Mawhin重合度延拓定理和一些不等式分析技巧,得到周期解存在性相关结果。最后给出相关的例子和数值模拟验证结果的正确性。第四章,考虑了一类奇异平面微分系统。基于三阶近似方法、平均方法和反序上下解方法得到的一些定量信息,获得周期解的存在性和李雅普诺夫稳定性的一些结果。图[4]表[0]参[118]

柳彦军^[2]（2021）在《指数非线性问题的爆破分析与紧性研究》文中研究说明近年来,来自于微分几何、数学物理等领域中的指数非线性问题越来越受到关注,本文主要考虑指数非线性问题的爆破分析与紧性分析,结合最佳几何不等式,对相关问题进行深入研究.首先,我们利用凸重排技巧以及水平集估计,建立涉及N-Finsler-Laplacian算子和Lp范数扰动的最佳Trudinger–Moser不等式.此外,我们还通过爆破分析和容度技巧得到极值函数的存在性.其次,我们考虑带边黎曼面上的预定曲率方程.利用刘维尔方程的爆破分析方法,结合Trudinger–Moser不等式,证明对应平均场方程的能量泛函有明确的下界,在此基础上,我们给出预定曲率方程解存在的一个充分条件.然后,我们建立有界区域中涉及N-Finsler-Laplacian算子的奇异Trudinger–Moser不等式的Lions型集中紧性原理.此外,我们还得到整个欧氏空间RN上相应的集中紧性原理.接着,我们考虑带有临界指数增长和奇异项的非线性薛定谔方程.利用极大极小方法和集中分析,结合一些精细的估计,证明基态解的存在性.对于扰动问题,得到了两个不同的非平凡弱解.最后,假设（M,g）是一个完备的非紧N维负曲率黎曼流形,N≥2,我们得到奇异Trudinger–Moser不等式的集中紧性原理.作为一个重要的应用,我们证明一类椭圆问题在完备非紧黎曼流形上的基态解的存在性,我们还得到扰动问题的非平凡弱解.

杨涛^[3]（2021）在《几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究》文中进行了进一步梳理本文主要研究含Sobolev临界指数的Kirchhoff-型方程、Gross-Pitaevskii方程规范化解的存在性与渐近性,带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程非平凡弱解的存在性和乘积Sobolev空间中修正的Sobolev不等式及其在带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程组中的应用.本文总共有五章.在第一章中,我们阐述了本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并且介绍了本文的主要工作及相关的预备知识和符号.在第二章中,我们研究了 R3中一类含Sobolev临界指数的Kirchhoff-型方程-（a+b∫R3|▽u|2）Δu=λu+|u|p-2u+μ|u|q-2u,x ∈ R3规范化解的存在性与渐近性,其中a>0,b>0,2<q<14/3<p≤6或14/3<q<p≤6,μ>0且λ ∈R是待定的且以拉格朗日乘子出现.对于上述范围内的p和q,方程所对应的能量泛函在给定的L2-球面上无下界,我们仍考虑了 Sobolev临界p=6的情形.若2<q<10/3且14/3<p<6,我们找到了该方程的两个规范化解.若2<q<10/3<p=6或14/3＜q＜p≤6,我们找到了该方程的规范化基态解.进一步,我们也给出了上述规范化解的渐近性.我们的主要结果将N.Soave（J.Differential Equations 2020&J.Funct.Anal.2020）关于 Schrodinger 方程的结果推广到了Kirchhoff-型方程.在第三章中,我们研究了 R3中一类带有三体缺失的Gross-Pitaevskii方程-1/2Δu+λ1|u|2u+λ2（K*|u|2）u+λ3|u|p-2u+ωu=0,x ∈ R3,规范化基态解的存在性,渐近性,稳定性以及解的具体刻画,其中2<p<10/3,（λ1,λ2,λ3）∈R2×R-,*表示卷积,K（x）=1-3cos2θ（x）/|x|3,θx)是（0,0,1）和x ∈R3 之间的夹角且ω∈R是待定的且以拉格朗日乘子出现.当用来描述非线性项之间作用强度的物理参数落在某个范围时,方程所对应的能量泛函在给定的L2-球面上无下界,不能合理地定义全局极小化问题,因此我们转而考虑一个局部极小化问题来证明该方程的规范化基态解的存在性.进一步,我们证明了它在相应的Cauchy流作用下是稳定的.最后,通过修正规范化基态能量的上界,我们得到了在质量消失时该规范化基态解的精确刻画.在第四章中,我们研究了Rn上带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程的非平凡弱解的存在性.为解决该问题,我们首先借助加权Morrey空间来建立一些新的Sobolev不等式.本章的主要结果已发表在（Acta Math.Sci.Ser.B（Engl.Ed.）,40,1808-1830,2020）.在第五章中,我们证明了乘积Sobolev空间中含有加权Morrey范数的修正的Sobolev不等式并给出了其在带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程组中的应用.本章的主要结果已于2020年发表在（Discrete Contin.Dyn.Syst.Ser.S,doi:10.3934/dcdss.2020469）.

田兴亮^[4]（2021）在《几类椭圆型系统解的存在性与多解性》文中进行了进一步梳理在本文我们借助变分法、Lyapunov-Schmidt约化、山路理论等方法,讨论了几类椭圆型系统解的存在性与多解性。首先,我们讨论了如下FitzHugh-Nagumo类型非局部系统解的存在性:（?）其中s∈（0,1）,N>2s,p∈（1,N+2s/N-2s）,Ω是欧氏空间RN中具有Lipschitz边界条件的有界区域,（-Δ）s是分数阶Laplacian算子,ε是正的小参数,γ和δ是与ε无关的非负常数,当ε充分小时,我们构造出该系统的一个单峰解,其中峰在区域内部但靠近边界。然后,我们讨论如下具有临界指数增长的Kirchhoff类型系统的多解性:（?）其中Ω是欧氏空间R2中具有光滑边界且包含原点的有界区域,（?）∈[0,2),‖ui‖2=∫Ω|▽ui|2dx,m是Kirchhoff型函数,fi在无穷远处表现为exp（βt2）,其中β>0,hi属于适当的空间且至少有一个hi是非平凡的,i=1,…,k,ε是正参数。利用带奇异项的Trudinger-Moser不等式,结合Ekeland变分法和山路理论,我们得到当ε充分小时,该系统至少有两个解。最后,我们在Heisenberg中研究类似先前呈临界指数增长的Kirchhoff型系统。记HN=CN×R为Heisenberg群,Q=2N+2是HN的同构维数,我们考虑如下Q-Laplacian系统:（?）其中Ω是HN中具有光滑边界且包含原点的有界区域,0≤（?）<Q,K是Kirchhoff型函数,非线性项Gu,Cv在无穷远处表现为exp（β|t|Q/Q-1）,其中β>0,λ是正参数。在适当的假设条件下,当λ充分大时,我们得到该系统解的存在性。

樊洪森^[5]（2021）在《非线性Kirchhoff型椭圆边值问题的定性研究》文中研究说明本文主要研究带有Sobolev-Hardy临界指数项的Kirchhoff型椭圆边值问题,探讨了含Sobolev-Hardy临界指数项的Kirchhoff型椭圆方程正解的存在性和多重性,以及考察了含Sobolev-Hardy临界指数项的Kirchhoff型椭圆强耦合系统正解的存在性。首先考察了一类含Sobolev-Hardy临界指数项的Kirchhoff型椭圆方程。研究该方程主要面临两个方面的困难:一方面,由于方程含有非局部项,使得方程本身不再是逐点意义下的等式;另一方面,方程含有Sobolev-Hardy临界指数项,使得Sobolev嵌入（?）失去紧性,因此该问题对应的能量泛函不再满足Palais-Smale条件,从而不能使用通常的变分方法和有关分析技巧。本文通过应用Lions集中紧性原理克服了紧性缺失的问题,并利用了有关分析技巧证明该方程对应的能量泛函满足局部Palais-Smale条件,最后运用山路引理和强极大值原理证明了该方程解的存在性与多重性。其次考察了一类含强耦合项和Sobolev-Hardy临界指数项的Kirchhoff型椭圆耦合系统。解决该问题的主要困难在于:该系统既含有非局部项与Sobolev-Hardy临界指数项,又含有强耦合项,使得该问题相对于一般的方程更加复杂。本文利用Brézis-Lieb引理克服了紧性缺失的问题,再应用Nehari流形、纤维映射等方法证明该系统对应的能量泛函关于水平集c存在临界序列,并证明了该能量泛函满足Palais-Smale条件,最后利用强极大值原理获得该系统正解的存在性。最后总结了本文的主要研究内容,提出了现阶段仍存在的一些研究问题以及将来研究工作的具体方向。

余胜斌^[6]（2020）在《R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性》文中研究指明本文研究R3上奇异椭圆方程解的存在性和渐近性,主要工作分为以下五个部分:1.研究如下具有弱奇异项的Choquard方程解的相关问题:其中1+α/3≤p<3+α,0<γ<1,Ia（0<α<3）为Riesz位势函数.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第一章证得方程（Pλ）在λ>0下有唯一正解uλ,且当λ→0+时,该唯一解uλ会趋近于方程（P0）的唯一正解;第二章证得方程（Pλ）在λ<0下至少有两个解:一个正基态解uλ（1）和一个正解uλ（2）,且当λ →0-时,这两个解具有如下收敛性:uλ（2）发散而uλ（1）趋近于方程（P0）的唯一正解.2.研究如下具有弱奇异项的临界Choquard方程解的相关问题:其中 1+α/3 ＜p<3,0<γ<1,λ>0,Iα（0 ＜α<3）为 Riesz位势函数.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第三章证得方程（CPA）至少有两个解:一个正基态解uλ和一个正解vλ,且当λ→0+时,这些解具有如下收敛性:uλ会趋近于方程（CP0）的基态解而vλ会趋近于方程（CP0）的正解.3.研究如下具有弱奇异项的临界椭圆方程解的相关问题:其中0<γ<1,λ>0,Q（x）＞ 0.当函数f（x）满足一定的假设条件而函数Q（x）在k个不同点a1,a2,…,ak处取到相同的最大值QM时,本文第四章证得方程（KPλ）至少有k+1个解:一个正基态解uλ和k个不同的正解uλ,i（i=1,2,…,k）,且当λ→0+时,正基态解uλ趋近于0而其余的k个正解在测度意义下具有下述收敛性:这里δai是ai处的Dirac测度,S是Sobolev嵌入D1,2（R3）→L6（R3）的最佳常数.4.研究如下具有奇异项的分数阶Schro|dinger-Poisson系统解的相关问题:其中λ>0,0<s≤t<1且4s+2t>3.（-△）s为分数阶Laplacian算子.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第五章证得弱奇性（0<γ<1）情形下系统（SPλ）的唯一正解uλ的存在性和单调性.第六章证得强奇性（γ>1）情形下系统（SPλ）的正解uλ存在且唯一的一个充分必要条件及解的单调性.此外,当λ→0+时,两种情形下的唯一解均会趋近于对应情形下的方程（SP0）的唯一正解.5.研究如下具有奇异项的分数阶Kirchhoff型方程解的相关问题:其中b>0,0<s<1.（-△）s为分数阶Laplacian算子.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第七章证得弱奇性（0<γ<1）情形下方程（Kb）的唯一正解ub的存在性;第八章证得强奇性（γ>1）情形下方程（Kb）的正解ub存在且唯一的一个充分必要条件.此外,当b→0+时,两种情形下的唯一解均会趋近于对应情形下的方程（K0）的唯一正解.

万方舒^[7]（2020）在《奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为》文中研究表明本文主要研究奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为。我们知道锥度量下的椭圆方程等价于在零点处奇异的退化椭圆方程,对于此类带有奇异非线性项的退化椭圆方程,我们精确地刻画了其非负解在奇点处的渐近行为,得到了相应的刘维尔定理。更进一步,我们还建立了其非负解在奇点处直至任意阶的渐近展开式。本文主要分成两个大部分。第一部分,首先证明赋予锥度量的黎曼流形上的Sobolev嵌入是紧嵌入,分别考虑孤立锥奇点和余二维锥奇点两种情形,然后利用奇异流形上的紧嵌入得到椭圆方程解的存在性以及正则性。作为比较,我们发现赋予Poincare度量的奇异流形上只成立Poincare不等式,没有相应的Sobolev不等式。第二部分,我们研究椭圆方程非负解在锥奇点处的渐近展开式。首先证明了二阶齐次和非齐次椭圆方程非负解在锥奇点处的Bocher定理,并将该结果延拓到四阶和高阶方程,最后我们得到了二阶半线性椭圆方程非负解在锥奇点处直至任意阶的渐近展开式,包括次临界和临界方程,该展开式推广了 Caffarelli,Gidas和Spruck的结果到锥度量的情形。

叶红艳^[8]（2020）在《一类椭圆型方程Neumann边值问题解的存在性与多重性研究》文中指出本文应用变分方法,截断技巧,Nehari流形及一些分析技巧研究了一类椭圆型方程Neumann边值问题解的存在性和多重性.首先,我们考虑如下一类Kirchhoff型方程关于Neumann边值问题解的存在性#12其中Ω（?）RN是光滑有界区域（N≥ 1）,v为外法向单位向量,常数a>0,b≥0,参数λ＞ 0,1 ＜q ＜2.应用变分方法和截断技巧获得方程（0.1）解的存在性和多重性（?）.其次,我们将方程（0.1）推广到如下变号位势的Neumann 问题（?）（0.2）其中c（x）可能是变号函数,a≥0,b>0且a+b＞0,1＜q＜2.同样通过变分方法和截断技巧获得方程（0.2）解的存在性和多重性.最后,我们研究如下具有奇异项和临界增长的Neumann边值问题#12其中Ω（?）RN有界光滑区域（N≥ 3）,0＜γ＜1,参数λ＞ 0,0≤a（x）∈ L∞（（?）Ω）是一个非负的函数,v为外法向单位向量.利用变分方法和Nehari流形等方法获得方程（0.3）两个正解的存在性.

徐宁^[9]（2020）在《一类拟线性Schr?dinger方程的正解性研究》文中研究指明本文利用变量替换,单调性技巧,Ekeland变分原理等方法研究一类拟线性Schrodinger方程正解的存在性与多重性.首先,考虑如下拟线性Schrodinger方程-△u+V（x）u-△[（1+u2）1/2]u/2（1+u2）1/2=μh（u）,x ∈RN（0.1）其中N≥3,V ∈C1（RN,R）,h∈C（R,R）,μ＞0 是一个参数.对位势函数V和非线性项h作适当假设,利用变量替换,单调性技巧等方法获得了方程（0.1）一个正解的存在性.其次,考虑带有奇异项的次临界拟线性Schrodinger方程-△u+V（x）u-△[（1+u2）1/2]u/2（1+i2）1/2=a（x）|u|p 2u+μb（x）/丝us,x∈RN,（0.2）其中,N≥3,2＜p＜2*=2N/N-2,μ>0为参数,0 ＜s ＜1,a（x）∈L2*/2*-p（RN）和b（x）∈L2*/2*-（1-s）（RN）为两个正函数,V∈C1（RN,R）.对位势函数V作适当假设,应用变量替换,单调性技巧,Eke-land变分原理获得方程（0.2）两个正解的存在性.最后,考虑带有奇异项和临界指数增长的拟线性S chrodinger方程-△u+V（x）u-△[（1+u2）1/2]u/2（1+u2）1/2=u5+μb（x）/us,x∈R3（0.3）其中μ>0为参数,0＜S ＜1,b（x）∈ 6/5+s（R3）为正函数,V ∈C1（R3,R）.对位势函数V作适当假设,应用变量替换,单调性技巧,Ekeland变分原理获得方程（0.3）两个正解的存在性.

高思妮^[10]（2020）在《带有Hartree非线性项的方程解的存在性与多重性》文中指出以应用为目的,或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程不仅是传统数学中一个最主要的内容,也是当代数学的一个重要组成部分.目前微分方程研究的主体是非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程.近十年来,作为非线性偏微分方程中非常重要的一类方程,Choquard方程在量子力学,引力学,磁力学等起有重要作用,而带有Hartree非线性项方程解的存在性得到了广泛的研究.本文利用山路定理,扰动技巧,全局紧性引理以及约束变分法讨论了此类方程解的存在性与多重性.本文分为两章.在第一章中,讨论如下带有奇异项的Choquard方程（?）其中Ω（?）RN是具有边界（?）Ω的有界光滑区域,λ>0是参数,Iα是Riesz势,f∈ C（R+,R+）,F（t）=∫0tf（s）ds,0<h ∈ L2（Ω）,g ∈ C（（0,∞）,R+）且在零点具有一定的奇异性.h和一般奇异项g满足以下假设:（h）h ∈ L2（Ω）,h（x）>0 a.e.x ∈ Ω,（g）g∈C（（0,∞）,R+）是非增的,∫01 g（3）ds<∞且存在γ∈（O,1）,使得lim t→0+ g（t）tγ=∞,f满足以下“拟临界”增长假设:（f1）（?）（f2）limt→∞ F（t）/t=∞,（f3）2F（t）≤f（t）t,t≥0.我们利用变分方法和扰动技巧研究了带有奇异项和拟临界非局部项Choquard方程解的存在性和多重性.当参数λ充分小时,可得到两个解,一个是对应能量泛函的局部极小值点,另一个是扰动方程山路解的极限.在第二章中,我们研究以下带有Hartree非线性项的基尔霍夫方程-（a+b∫R3|▽u|2）Δu+V（x）u=（Iα*F（u））f（u）,x∈R3,其中a>0,b≥ 0是常数,V ∈ C（R3,R+）是一个势函数,满足:（V1）V（x）≤lim|x|→∞V（x）=V∞,x ∈ R3,且存在一个正测度集Ω,使得V（x）<V∞,x ∈Ω,（V2）存在kk ∈（0,a（2+α）/4）使得0 ≤（▽V（x）,x）≤k/2|x|2,x ∈R3{0},其中（·,·）是定义在R3上的内积.f∈ C（R,R）满足一般的Berestycki-Lions型假设,（f4）存在C>0使得|tf（t）|≤C（|t|3+α/3+|t|3+α）,t∈R,（f5）limt→0F（t）/|t|3+α/3=0,lim|t|→∞ F（t）/|t|3+α=0（f6）存在t0 ∈ R{0}使得F（t0）≠0,并且F（t）=∫0t f（s）ds.通过使用山路定理,全局紧性引理以及约束变分法,我们得到了方程基态解的存在性.

二、一类带有奇异项的临界椭圆方程正解的存在性（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、一类带有奇异项的临界椭圆方程正解的存在性（论文提纲范文）

（1）几类奇异系统周期解问题的研究（论文提纲范文）

（2）指数非线性问题的爆破分析与紧性研究（论文提纲范文）

（3）几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究（论文提纲范文）

（4）几类椭圆型系统解的存在性与多解性（论文提纲范文）

（5）非线性Kirchhoff型椭圆边值问题的定性研究（论文提纲范文）

（6）R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性（论文提纲范文）

（7）奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为（论文提纲范文）

（8）一类椭圆型方程Neumann边值问题解的存在性与多重性研究（论文提纲范文）

（9）一类拟线性Schr?dinger方程的正解性研究（论文提纲范文）

（10）带有Hartree非线性项的方程解的存在性与多重性（论文提纲范文）

四、一类带有奇异项的临界椭圆方程正解的存在性（论文参考文献）

• [1]几类奇异系统周期解问题的研究[D]. 单雪梦. 安徽理工大学, 2021(02)
• [2]指数非线性问题的爆破分析与紧性研究[D]. 柳彦军. 南开大学, 2021(02)
• [3]几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究[D]. 杨涛. 华中师范大学, 2021(02)
• [4]几类椭圆型系统解的存在性与多解性[D]. 田兴亮. 西南大学, 2021(01)
• [5]非线性Kirchhoff型椭圆边值问题的定性研究[D]. 樊洪森. 重庆邮电大学, 2021
• [6]R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性[D]. 余胜斌. 福建师范大学, 2020(12)
• [7]奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为[D]. 万方舒. 中国科学技术大学, 2020(01)
• [8]一类椭圆型方程Neumann边值问题解的存在性与多重性研究[D]. 叶红艳. 贵州民族大学, 2020(02)
• [9]一类拟线性Schr?dinger方程的正解性研究[D]. 徐宁. 贵州民族大学, 2020(02)
• [10]带有Hartree非线性项的方程解的存在性与多重性[D]. 高思妮. 山西大学, 2020(01)

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