一类变系数函数方程解的振荡

一、一类变系数函数方程解的振动性（论文文献综述）

邹敏^[1]（2019）在《几类偏微分方程振动性质及一维浅水波方程的Entropy-TVD格式》文中认为在当代,微分方程无处不在,各个科学领域的研究都围绕着微分方程模型.为了与实际相符,模型形式日趋复杂,比如地震波波动模型.只有经典的原始的微分方程才可以求得解析解,对于大部分地震波波动模型目前只能简化以后进行数值模拟.随着研究的深入,对于更复杂的地震波传播模型,在数值模拟不易进行时,考虑研究解的定性理论,也就是不求解直接研究解的分布和性态,从而探讨地震波的传播特征.方程解的振动性是微分方程定性理论的重要分支.本文的研究内容分为两个部分,第一部分是在常微分方程解的振动性的基础上讨论了中立型时滞脉冲偏微分方程和方程组、分数阶脉冲偏微分方程和分数阶脉冲时滞偏微分方程组解的振动性.在振动性的讨论中,利用平均值方法将偏微分方程转化为常微分方程或者不等式,从而得到偏微分方程解的振动性,并尝试将振动性的研究运用于各向同性声波方程.在分数阶偏微分方程振动性的讨论中,分别利用变量代换以及分数阶导数定义与Γ函数的关系两种不同的方法将分数阶转化为整数阶.第二部分,将Entropy-TVD格式推广至一维浅水波方程,并利用三个数值实例验证了Entropy-TVD格式的有效性,并将这个格式与标准的Godunov格式在分辨率、数值精度阶数和计算成本等方面进行了比较.论文取得的主要成果和结论如下:（1）本文研究了两类时滞脉冲偏微分方程及方程组的振动性.利用平均值法、格林公式和边界条件将所要研究的非线性脉冲时滞双曲方程边值问题解的振动性转化成二阶脉冲微分不等式解的振动问题,接着利用Riccati变换将这个二阶脉冲微分不等式降为一阶,利用辅助函数得到所求边值问题解振动的充分条件.在研究一类中立型脉冲时滞抛物系统在两类边界条件下解的振动性时,首先利用平均值法、格林公式、边界条件以及垂直相加法将脉冲时滞偏微分方程组转化为脉冲时滞常微分不等式组.接着利用变量代换来处理脉冲项,将复杂的分段连续情形转化为连续的状态来考虑,将所研究的问题转化为普通一阶常微分不等式解的振动问题.这样的处理可以极大限度地让已有的大量的一阶常微分方程或者不等式解的振动理论得到推广应用,使得研究空间更为广泛.尝试将微分方程振动理论运用于各向同性声波方程中,并得到结论.（2）基于分数阶微分方程在反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学等学科中的广泛应用,本文讨论了一类分数阶脉冲偏微分方程和一类分数阶脉冲时滞偏微分系统解的振动性.基于分数阶导数给研究带来的困难,本文采用两种不同的方法将分数阶偏导数转化为整数阶导数,这样就可以利用已有的整数阶微分方程解的振动理论处理分数阶微分方程解的振动性.本文采用的第一种方法是直接利用Γ函数进行变量代换,第二种方法是利用Modified Riemann-Liouville分数阶导数与Γ函数之间的关系.对于转化之后的微分方程,综合应用Riccati变换和微分不等式,得到了这两类分数阶脉冲偏微分方程在不同边界条件下解的振动准则.（3）本文将Entropy-TVD格式推广至一维浅水波方程.首先详细描述了Entropy-TVD格式,介绍了这个格式的一些性质然后运用于一维浅水波方程.给出了三个数值实例,表明了Entropy-TVD格式的有效性,并研究了Entropy-TVD格式的数值精度阶数和计算成本.Entropy-TVD格式比标准Godunov格式减少了数值耗散,具有更好的分辨率.为了提高线性特征场和非线性特征场的精确度,本文还建立了两个HS重构并将深度和速度作为两片常函数.Entropy-TVD格式包含四个数值实体,即数值熵、数值速度、深度和流量.文中验证了这个格式保留了深度和流量守恒,而且满足熵条件.本论文的创新之处主要表现在以下三个方面:（1）在对偏微分方程解的振动性的讨论中,利用Green公式的推导更好地处理了非线性项,有助于处理非线性地震波波动方程.利用Riccati变换对所研究的二阶常微分方程组进行降阶,使研究更为简便.利用变量代换将分段连续函数转化为连续函数,更有效地处理了脉冲项.这样可以处理更多的存在多种突发扰动的系统.将振动理论运用于声波方程,为研究复杂介质中或者更复杂的比如带有脉冲和时滞的波动模型提供理论基础.（2）在对分数阶微分方程的讨论中,其中分数阶导数的定义采用Modified Riemann-Liouville分数阶导数,修正了原先推导中的漏洞.目前,在对分数阶微分方程解的振动性的讨论中分数阶偏微分方程并不多见,带脉冲时滞的方程少之又少,基本上没有对偏微分方程组进行讨论.本文利用整数阶变量代换的方法处理了所讨论方程中的脉冲项,并利用垂直相加法得到了分数阶脉冲时滞偏微分方程组解的振动性.（3）本文将一阶精确Entropy-TVD格式推广到了一维浅水波方程,为了提高线性特征场和非线性特征场的精确度,建立了两个HS重构并把深度和速度作为两片常函数.这个格式包含四个数值实体,即数值熵、数值速度、深度和流量.Entropy-TVD格式比标准Godunov格式减少了数值耗散,具有更好的分辨率.（4）本文将熵格式推广到地下水溶质运移方程,首先采用分裂方法将地下水溶质运移方程分成对流方程和弥散方程,对流方程是一个双曲型方程,利用熵格式求解,弥散方程的空间离散用二阶中心格式离散时间离散用简单的向前差分.通过数值试验,对不同对流强度的地下水溶质运移方程进行了数值计算,计算结果表明熵格式没有出现过量问题,没有出现非物理振荡,数值弥散小,特别适合强对流问题的数值计算.

王发令,吴英柱^[2]（2016）在《高阶非线性泛函微分方程的振动准则》文中研究表明利用反复迭代的思想方法,讨论了一类高阶非线性泛函微分方程x（g（t））=P（t）x（t）+∑mi=1Qi（t）∏sj=1|x(gkj+i（t）)|aj sgnx(gkj+i（t）)解的振动性,给出了这类函数方程一切解振动的充分条件:如果limi∈t→∞inf∑mi=1Qi（t）∏sj=1[∏kj+i-1k=1P（gk（t））]aj=A,且limi∈t→∞sup∑mi=1Q（t）∏sj=1[∏k+i-1k=1P（gk（t））]aj>1/λk两式成立,则上述方程的一切解振动。所得结果改进了近期文献的某些结果。

杨甲山^[3]（2016）在《具可变时滞的二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性》文中研究表明研究一类非线性的具有可变时滞的二阶中立型泛函微分方程的振动性,利用Riccati变换技术及不等式分析技巧,获得了该方程振动的2个新的判别准则,所举例子说明这些准则是方程振动的"sharp"条件.

吴英柱^[4]（2016）在《高阶变系数函数方程解的振动准则》文中提出利用反复迭代的思想方法,讨论了一类高阶变系数函数方程x（g（t））=p（t）x（t）+msΣQi（t）∏i=1j=1x（gkj+i（t））aj sgn x（gkj+i（t））解的振动性,给出了这类函数方程一切解振动的几个充分条件:如果存在整数n≥0,使得ms lim supt→∞ΣQi（t）∏i=1j=1[kj+i-1a（t）)]j∏p（gk>1（t I）,k=1则上述方程的一切解振动;如果存在一个整数n≥0,使得limt→∞ sup [p（g（t））ΣQi（t）∏pn（gk（t））i=1j=1[kj+∏k=1]αj m sα+ΣQi（g（t））∏gk（t））i=1j=1[kj+i∏pn(k=2]j]>1（t I）,则上述方程的一切解也振动.并且给出了该方程在差分方程中的若干应用.

吴英柱,林全文^[5]（2015）在《高阶变系数函数方程的非振动解》文中进行了进一步梳理给出一类高阶非线性函数方程的一些新的非振动准则,并且给出了在差分方程中的若干应用,结果改进和推广了近期文献的某些结果.

邵晶^[6]（2015）在《几类微分系统的定性理论及其应用》文中研究指明1881-1886年,法国数学家J. H. Poincare （1854-1912）,发表了四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文,首次在微分方程求解过程中引入定性思想,为微分方程解的性质的讨论和应用开辟了新的天地.同时期,俄国数学家A. M. Liapunov （1857-1918）提出了常微分方程稳定性理论亦称运动稳定性理论,在具体问题的研究中进,一步完善和发展了定性理论.随后二百多年,经过各国数学家不懈的努力,微分方程定性理论发展迅速,产生了众多的学科分支,研究的方程也从线性发展到非线性,由低阶发展到高阶.这些领域构建的微分方程模型能比较精确的描述宏观和微观世界,在应用领域引起了广泛的关注.微分方程的定性理论和应用因此成为近年来研究的热点问题之一.在微分方程定性理论的研究中,微分算子谱理论和分数阶微分方程伴随着分形学、生物学、自动控制、物理学、分数控制系统与分数控制器,流变学,电分析化学等学科的飞速发展.受到了众多学者的关注,有了突破性的发展.其中Dirac算子在描述量子力学中的能量和原子的内力问题中是十分重要的,由于力学系统受到外力的干扰或原子系统受到外电磁场的作用,都可能使得原系统不再连续,造成描述该系统的方程中的特征函数具有间断点,这一物理现象抽象为带有转移条件的Dirac系统.目前Dirac系统的特征值及其性质还少有人研究,文[110]研究了具有转移条件的一个简单形式（对角型）的Dirac系统的逆谱问题,关于一般形式的具有转移条件的Dirac系统的谱问题,如相应的Dirac算子的自伴性、特征函数的完备性等,迄今为止尚未发现有相应结果出现.19世纪以来,伴随着广义算子理论的兴起和发展,分数阶微分理论在理论和应用上都获得了突飞猛进的发展,出现了较多的专着和论文集,研究的方向众多,各个分支都有了一定的发展,见参考文献[1]、[25]、[26]、[79]等.但是由于分数阶微积分算子具有非局部性,作为积分算子的核又是奇异的,利用整数阶微分方程的理论和方法来研究分数阶微分系统非常困难,因而有必要建立分数阶微积分的独立的理论.由于其计算的复杂性,对它们某些物理意义的阐述还未得到普遍认可,所以总的来说相对于整数阶微分方程理论,分数阶微分方程理论的研究口前仍处于起步阶段.分数阶微分方程的定性理论和应用也是近年来研究的热点之一,是分数阶微积分最直接的应用之一,在众多自然学科领域有着广泛的应用.分数阶微分方程的研究内容比较丰富,但是分数阶微分、积分方程的理论研究还不太完善,定性理论的研究成果相对较少,许多理论正处于期待研究的状态.本文共分为六章,主要研究转移性条件下的Dirac系统的基本解和特征值的性质,几类含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用,矩阵哈密顿系统解的振动性质,非线性分数阶微分方程的振动性准则和含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性准则.这些研究结果大都已经发表在国外重要的学术期刊上,如《Appl. Math.Comput.》（SCI）、《Abstr.Appl.Anal.》（SCI）、《Discrete Dyn.Nat.Soc.》（SCI）、《Adv.Difference Equ.》（SCI）、《J.Appl.Math.》（SCI）等.第一章简要介绍了微分方程定性理论的历史背景,着重讲述了微分算子谱理论和分数阶微分方程定性理论的发展史,并分成五小节分别介绍了每章研究的问题、方法和结论.第二章主要研究带有一个内部奇异点的Dirac算子的谱问题,在该奇异点处,我们加上了转移性条件,然后考虑带转移条件的Dirac系统的谱问题.其中§2.2给出Dirac系统的变换形式,§2.3给出了要研究的谱问题,52.4研究了由边界条件和转移性条件在合适的Hilbert空间中所定义的算子,并讨论了算子的特征值；§2.5讨论了Dirac系统的基本解及其性质,讨论了Wronski行列式的零点与所讨论的Dirac问题的特征值的对应关系以及特征值的重数,最后§2.6,给出了豫解算子以及Green函数.第三章主要讨论了几类含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用.其中§3.2建立了一类含有弱奇异核的不连续函数的积分不等式及其在脉冲分数阶微分系统中的应用,由于弱奇异核的存在,含有不连续函数的不等式的研究方法与经典的Gronwall-Bellman-Bihari型不等式的研究方法相当不同,主要利用Mittag-Leffler函数Eβ（·）来进行研究,并利用逐次迭代法来建立新型的不连续函数积分不等式.§3.4得到了两类含弱奇异核的Gronwall-Bellman型不等式,其中第二类含有时滞项.并将它们用在分数阶微分方程解的有界性等性质的研究上.第四章研究向量形式的哈密顿系统的振动性,首先在§4.2中,我们利用矩阵空间上的单调泛函以及负保持泛函,结合利用Riccati变换和积分均值方法,给出哈密顿系统（4.1）的振动性的区间准则,这些准则只依赖于系数矩阵在一个子区间列上的性质,从而推广改进了许多现有的结果；其次在§4.3中利用一个保振动性的线性变换,以及推广的Riccati变换和积分均值方法,我们建立了哈密顿系统（4.1）的振动性准则,推广改进了现有的许多结果,并简化了已知定理的证明；最后,给出几个例子,说明我们结果的准确性.第五章研究了两类非线性分数阶微分方程的振动性准则.§5.2我们讨论了一类新的分数阶微分方程的振动性判据,对于非线性项f（u）进行了不同的假设,推出来不同的区间型振动性判据,与以往研究的结论不同.不同点主要在于这些结论依赖的条件是半直线的一列区间,而不是整条半直线.§5.3从Riemann-Liouville型分数阶导数和Caputo型分数阶导数两个方面,得到了一类含混合非线性项的分数阶微分方程的振动性准则,并给出几个例子来验证定理的有效性.第六章采用Leighton勺变分原理主要研究了一类含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性准则,重点是与广义能量函数（广义的（＆+1）次能量函数）密切相关的半线性方程的振动性判定,它们推广了文中所列参考文献的结果.本章最后给出了几个例子来验证主要定理的有效性.

伍思敏,戴丽娜,林全文^[7]（2013）在《高阶泛函方程解的非振动准则》文中认为研究一类高阶非线性泛函微分方程用x(g（t）=p（x）x（t）+Q（t）multiply from i=1to m|x（gki+1（t））|aisgnx（gki+1（t））迭代方法获得方程解的一些新的非振动准则.并且给出了在差分方程中的应用.

吴英柱^[8]（2013）在《一类非线性时滞函数方程的振动准则》文中认为主要研究非线性时滞高阶函数方程x（t-τ）=P（t）x（t）+∑m i=1Qi（t）∏sj=1|x（t-（kj+i）τ）|aj signx（t-（kj+i）τ）的解的振动性,利用迭代法,得到该方程解振动的若干个充分条件。

戴丽娜^[9]（2012）在《一类函数方程的振动准则》文中指出主要研究了高阶非线性变系数时滞函数方程的解的振动性。采用反证法和迭代法,得到该方程解振动的若干个充分条件,并且还以实例对结果进行了说明和验证。

戴丽娜,林全文^[10]（2012）在《一类高阶非线性泛函方程的振动准则》文中进行了进一步梳理研究了变系数高阶非线性泛函方程x（g（t））=P（t）x（t）+sum（）from i=1 to m Qi（t）x（gK+i（t））的解的振动性,得到了一些新的振动准则.所得结论推广了目前已有结果,此外,给出了新振动准则在差分方程中的一些应用.

二、一类变系数函数方程解的振动性（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、一类变系数函数方程解的振动性（论文提纲范文）

（1）几类偏微分方程振动性质及一维浅水波方程的Entropy-TVD格式（论文提纲范文）

作者简历

摘要

abstract

第一章绪论

1.1 选题的目的和意义

1.2 国内外研究现状、发展趋势及存在问题

1.2.1 地震波波动模型研究现状

1.2.2 振动理论研究现状

1.2.3 分数阶微分方程研究现状

1.2.4 浅水波模型的研究现状

1.2.5 双曲守恒律方程数值模拟的研究现状

1.2.6 对流—弥散方程数值模拟的研究现状

1.2.7 存在问题与发展趋势

1.3 主要研究内容和研究工作

1.4 论文主要成果及创新点

1.5 论文组织结构

第二章几类偏微分方程的振动性

2.1 里卡蒂方法研究带泛函参数的非线性脉冲时滞双曲方程的振动性

2.1.1 第一类边界条件下方程解的振动性

2.1.2 第三类边界条件下方程解的振动性

2.1.3 应用举例

2.2 中立型脉冲时滞抛物系统解的振动性

2.2.1 第三类边界条件下系统解的振动性

2.2.2 第一类边界条件下系统解的振动性

2.2.3 应用举例

2.3 声波方程解的振动性

2.4 小结

第三章分数阶脉冲偏微分方程及脉冲时滞偏微分系统解的振动性

3.1 分数阶积分与分数阶导数

3.1.1 Riemann-Liouville分数阶积分与分数阶导数

3.1.2 Caputo型分数阶导数

3.2 分数阶脉冲偏微分方程的振动性

3.2.1 第三类边界条件下方程解的振动性

3.2.2 第一类边界条件下方程解的振动性

3.3 分数阶脉冲时滞偏微分系统解的振动性

3.3.1 第三类边界条件下系统解的振动性

3.3.2 第一类边界条件下系统解的振动性

3.3.3 应用举例

3.4 小结

第四章一维浅水波方程的Entropy-TVD格式

4.1 浅水波方程的Entropy-TVD格式

4.1.1 Entropy-TVD格式的描述

4.1.2 HS的计算应用举例

4.2 Entropy-TVD格式的性质

4.3 数值算例

4.4 小结

第五章利用熵格式计算地下水溶质运移方程

5.1 熵格式的描述

5.2 数值试验和结果分析

5.3 小结

第六章结论与建议

6.1 结论

6.2 建议

致谢

参考文献

（2）高阶非线性泛函微分方程的振动准则（论文提纲范文）

0引言

1主要结果及证明

2应用

（3）具可变时滞的二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性（论文提纲范文）

1 主要结果及其证明

2 实例分析

（4）高阶变系数函数方程解的振动准则（论文提纲范文）

1 振动准则

2 应用

（6）几类微分系统的定性理论及其应用（论文提纲范文）

摘要

Abstract

记号

第一章绪论

1.1 具有转移条件的Dirac算子的谱

1.2 含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用

1.3 矩阵哈密顿系统的振动性准则

1.4 非线性分数阶微分方程的振动性准则

1.5 含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性

第二章具有转移条件的Dirac算子的谱

2.1 引言

2.2 Dirac系统

2.3 Dirac系统的特征值问题

2.4 由边界条件和转移条件所定义的算子

2.5 基本解及特征值的性质

2.6 Green函数与豫解算子

第三章含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用

3.1 引言

3.2 含有弱奇异核的不连续函数的积分不等式

3.3 不连续函数的积分不等式在脉冲分数阶微分方程中的应用

3.4 含有弱奇异核的Gronwall-Bellman型不等式

3.5 Gronwall-Bellman型不等式在分数阶微分方程上的应用

第四章矩阵哈密顿系统的振动性准则

4.1 引言

4.2 区间型振动准则

4.3 线性变换与振动性

4.4 几个例子

第五章非线性分数阶微分方程的振动性准则

5.1 引言

5.2 一类非线性分数阶微分方程的振动性准则

5.2.1 β=η时的振动性准则

η时的振动性准则'>5.2.2 β>η时的振动性准则

5.3 一类含混合非线性项的分数阶微分方程的振动性准则

5.3.1 涉及Riemann-Liouville分数阶导数的振动性准则

5.3.2 涉及Caputo分数阶导数的振动性准则

5.3.3 几个例子

第六章含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性

6.1 引言

6.2 广义变分振动性准则

6.3 几个例子

参考文献

在读期间发表的学术论文及研究成果

致谢

（7）高阶泛函方程解的非振动准则（论文提纲范文）

1 引言

2 主要结果

3 应用

（8）一类非线性时滞函数方程的振动准则（论文提纲范文）

1 引理